Wyrównywanie szeregów czasowych średnimi ruchomymi

Do wygładzania szeregu czasowego za pomocą średnichruchomych stosuje się dwa rodzaje średnich:zwykłe i scentrowane.
Średnie ruchome zwykłe stosuje się do danych rocznych lub do innych szeregów czasowych,w których nie ma wahań sezonowych.Tak więc za pomocą średnich ruchomych zwykłych będziemy wygładzać szeregi zawierające tylko trendi wahania przypadkowe.To właśnie wahania przypadkowe można wyeliminować poprzez zastąpienie pierwotnych wartości szeregu ciągiem średnich obliczanych z kilku sąsiadujących ze sobą wyrazów szeregu czasowego.Na przykład na podstawie szeregu Y₁, y₂, …, y_nmożemy obliczyć średnie trzyokresowe oraz
pięciookresowe:

Inaczej wzory te możemy zapisać jednym:

(t=q+1, q+2,..., n-q).

Teraz średnie są wypadkowymi pięciu wyrazów, zatem możemy spodziewać się,że z szeregu czasowego w silniejszynm stopniu eliminowane są wahania przypadkowe.Nowy wygładzony szereg jest krótszy o 4 wyrazy,co możemy traktować jako cenę za lepsze wygładzenie.
Wartości średniej ruchomej zapisujemy na poziomie okresu środkowego(da k=3 na poziomie okresu drugiego, a dla k=5 na poziomie okresu trzeciego), zatem szereg wtórny(średnich ruchomych jest krótszy od szeregu (empirycznego) pierwotnego o 2 przy średniej 3-letniej,o 4 przy 5-letniej,o 6 wartości przy 7-letniej.

Zauważmy,że zwykłe średnie ruchome obliczaliśmy z nieparzystej liczby wyrazów.Nie jest to przypadkowe,gdyż tylko przy nieparzystej liczbie wyrazów możemy przyporządkować wynik konkretnemu okresow.Pozwala to w ewentualnej dalszej analizie porównywać wyrazy pierwotnego szeregu czasowego z wyrazami szeregu wygładzonego.
Im dłuższą średnią ruchomą stosujemy do wygładzeniaszeregu,tym lepsze jest to wygładzenie,ale zarazem tym, więcej tracimy okresów,dla których nie uzyskujemy wartości trendu.Dobór długości średnich ruchomych wymaga więc umiarkowania.

Tabela.Liczba pracowników

Wyznaczymy obecnie trend dla podanego w tabl.Szeregu dynamicznego przedstawiającego liczbę pracowników pewnego przedsiębiorstwa,posługując się średnią ruchomą trzyokresową.

W ostatniej kolumnie znajdują sie wartości trendu wyznaczone za pomocą średniej ruchomej trzyokresowej. Pomimo małej w tym przypadku liczby okresów przyjętnych do obliczenia średniej ruchomej (tylko tzry), wyrównanie okazało się wystarczające.Gdy stosując np. średnią 3-okresową,otzrymamy wyrównanie niewystarczające (pojawiają się na przemian wartości większe i mniejsze), to konieczne jest obliczenie kolejnej średniej opartej na większej liczbie okresów. Jeżeli i to nie spowoduje wygładzenia szeregu, musimy ponownie zwiększyć liczbę wyrazów, które bierzemy do średniej. Postępujemy tak do czasu, gdy obliczone wartości będą wyrównane.

Jeśli szereg jest wyrażony w okresach krótkich ( np. miesięcznych, to wartości zaobserwowane y mogą być pod wpływem zmian sezonowych- w takim przypadku suma okresów branych do średneij ruchomej musi obejmować łącznie minimum jeden cykl wahań, to jest jeden rok (przy danych miesięcznych, średnia powinna mieć minimum 13 okresów, przy kwartałach minimum pięć okresów).

Gdy stosujemy średnie o parzystej ilości wyrazów,zastosowanie tej samej reguły nie jest możliwe, gdyż średnia wypada między dwoma okresami środkowymi.Dokonujemy wówczas tzw. centrowania średniej:

►na podstawie szeregu dynamicznego obliczamy średnią ruchomą o parzystej ilości wyrazów;

►następnie obliczamy kolejną średnią ruchomą o parzystej ilości wyrzow z obliczonych uprzednio średnich opisanych w poprzednim punkcie.

Taka podwójnie obliczana średnia o parzystej liczbie wyrazów nosi nazwę scentrowanej.

Oznaczając liczbę (parzystą) podokresów)w cyklu wahań przez d oraz przyjmując q = d/2, zapiszemy wzór na obliczenie średniej scentrowanej:

       Średnią ruchomą scentrowaną oznaczamy,podając liczby okresów branych do wyliczeń w obydwu etapach jej obiczania , np.średnia 4x2, 12x6 itp.Pierwsza cyfra wskazuje parzystą liczbę okresów branych do średniej obliczanej z wyrazów szeregu dynamicznego, zas druga cyfra wskazuje parzystą liczbę okresów branych do średniej obliczanej ze średniej pierwszej.
    Sposób obliczenia średniej ruchomej scentrowanej 4x2 pokażemy na przykładzie szeregu dynamicznego przedstawionego w tabl.3.
    Za pomoca klamer i strzałek objaśniono sposób obliczania wartości trendu.... dla roku 1992.Taki sam mechanizm zatosowano do kolejnych lat.W podanej tabeli 3 w ostatniej kolumnie wpisano obliczone wartości trendu(..).zauważmy, że dla dwu pierwszych i dwu ostatnich lat nie było możliwe obliczenie wartości terendu.

Przykładowo(wzory): Średnie ruchome z parzystej liczby okresów są przyporządkowane środkowemu okresowi i obliczane np. dla k=4 następująco: